Héctor Hernández
“El último teorema de Fermat va acompañado
de esta increíble historia romántica. Mucha gente ha discurrido sobre él y,
cuanto más han buscado y errado los grandes matemáticos la solución
del problema, más desafiante y misterioso se ha vuelto.”
Andrew Wiles
Hace varias décadas un médico alemán llamado Paul Wolfskehl se obsesionó con una mujer que lo rechazó, y como resultado Paul decidió suicidarse. Sin embargo, en armonía con la personalidad escrupulosa de Wolfskehl, este suicidio fue programado para cierto día y hora específicos. Antes de la fecha programada, aquel hombre arregló sus asuntos pendientes y elaboró su testamento, por lo que el último día le quedaron varias horas libres antes de la hora del suicidio, así que decidió ir a la biblioteca a leer un poco mientras esperaba la hora planeada.
Se encontró con un artículo acerca de una controversia entre matemáticos: Augustin Cauchy, un matemático francés, creía tener una prueba de un teorema famoso que nadie había podido probar, mientras que Ernest Kummer, un conocido matemático alemán, presentaba un cálculo que pretendía mostrar que tal prueba contenía un error. Paul se puso a revisar línea por línea el cálculo para ver si realmente había un error. Al final, Paul logró convencerse de que, aunque Kummer estaba en lo correcto al pensar que la prueba era errónea, sus cálculos también tenían una laguna que Paul finalmente pudo corregir, pero se entretuvo tanto que se le pasó la hora del suicidio.
Paul estaba tan entusiasmado de haber descubierto y corregido un error en el cálculo de Kummer que recuperó las ganas de vivir y decidió dejar una recompensa (de cien mil francos alemanes) para aquel que pudiera encontrar una prueba genuina de aquel famoso teorema llamado: el último teorema de Fermat. En su libro El enigma de Fermat, el autor, Simon Singh, relata la historia que resumo a continuación y que muestra lo apasionante que puede ser el trabajo de un matemático.
Origen del problema
Pierre de Fermat fue un funcionario francés nacido en 1601, hijo de un hombre rico que vendía pieles. Le gustaba mucho resolver problemas matemáticos y también molestar a otros, retándolos a encontrar la prueba de lo que él iba descubriendo. Normalmente Fermat no compartía sus soluciones, solo les presentaba el problema a otros usualmente por carta y los fastidiaba callando la solución hasta que ellos la encontraran por sí mismos si tenían el suficiente ingenio. De esa forma se divertía y no gastaba tiempo explicando sus métodos y soluciones que algunos podrían criticar o refutar.
El teorema de Pitágoras indica que hay ciertos números naturales tales que la suma de los cuadrados de un par de ellos, llamados catetos, es igual al cuadrado de otro número, llamado hipotenusa. Pero ¿qué pasaría si en vez de elevar los números al cuadrado los eleváramos al cubo o a la cuarta potencia? ¿Todavía sería posible encontrar tres números naturales que cumplan esa igualdad? Alrededor de 1637, cuando estudiaba el libro II de la Aritmética de Diofanto, Fermat escribió una nota en el margen del libro, junto al problema 8, que decía: “Es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos o escribir una cuarta potencia como la suma de dos cuartas potencias o escribir, en general, cualquier potencia mayor que dos como la suma de dos potencias iguales”. Esta conclusión, tan fácil de entender, es lo que se conoce como el último teorema de Fermat.
Fermat añadió el siguiente comentario: “Tengo una prueba en verdad maravillosa para esta afirmación, pero este margen es muy estrecho para contenerla”. En muchos otros problemas, los garabatos y cálculos que aparecieron en los márgenes de los libros que usó Fermat se convirtieron en un registro valioso para que los matemáticos posteriores supieran cómo llegó al resultado, pero en este caso no se encontró ningún indicio. De hecho, en 1742, casi ochenta años después de la muerte de Fermat, el matemático suizo Leonhard Euler solicitó a su amigo Clêrot que registrara la casa de Fermat por si acaso quedaba algún trozo de papel con información valiosa. Pero jamás se encontraron indicios de cómo pudo ser la demostración de Fermat.
En 1920, el gran matemático David Hilbert dio una conferencia pública sobre el último teorema de Fermat. Cuando le preguntaron si el problema se resolvería alguna vez, él contestó que no viviría para verlo, pero que tal vez los miembros más jóvenes del público podrían ser testigos de la solución, y fue acertada su predicción.
La solución del problema
En 1963, un niño de diez años que caminaba de su casa a la escuela decidió entrar en la biblioteca municipal de la calle Milton donde había una amplia colección de libros de pasatiempos matemáticos casi todos con la solución en las páginas finales. En esa ocasión le llamó atención un libro completo dedicado a un solo problema sin solución, el título del libro era The Last Problem, en el cual el autor, Eric Temple Bell, relata la historia del último teorema de Fermat y cómo nadie había podido resolverlo en los pasados trescientos años. El problema era tan fácil de entender que aquel niño entendió en qué consistía y se decidió firmemente a resolverlo. El nombre de aquel niño es Andrew Wiles, y la buena noticia es que sí logró resolverlo, pero después de unos treinta años y no sin pasar por varias dificultades.
En la década de 1950, Taniyama y Shimura dos matemáticos japoneses estuvieron trabajando juntos en una conjetura que casi nadie más creía: que las formas modulares que ellos estudiaban eran básicamente lo mismo que las curvas elípticas que Andrew Wiles estudiaría décadas después en el doctorado. Sin embargo, antes de que Shimura y Taniyama lograran probar la conjetura, Yutaka Taniyama repentinamente se quitó la vida. Dejó una carta que en parte decía:
“Ni yo mismo entiendo del todo la causa de mi suicidio, pero no es el resultado de ningún incidente en particular ni de nada específico. Simplemente puedo decir que estoy en un estado de ánimo tal que he perdido la confianza en mi futuro. Puede haber alguien para quien mi suicidio sea inquietante o, hasta cierto punto, un golpe. Sinceramente espero que este incidente no proyecte ninguna sombra sobre el futuro de esa persona. De ninguna manera puedo negar que esto no sea una forma de traición, pero, por favor, excusadlo como mi último acto, que he hecho a mi manera, igual que siempre he ido por libre toda la vida.”
En la mañana del lunes 17 de noviembre de 1958, el vigilante de apartamento encontró muerto a Taniyama con la carta que dejó. Ese mismo año Taniyama tenía planes de casarse con su prometida Misako Suzuki. Unas semanas después de la muerte de Taniyama, Susuki también se suicidó, dejando una nota que decía: “Nos prometimos mutuamente que, sin importar adonde fuéramos, nunca nos separaríamos. Ahora que él se ha ido yo debo ir también para reunirme con él.”
Aunque al principio casi nadie creía que la conjetura de Shimura-Taniyama fue cierta, fue ganando aceptación hasta que finalmente en la década de los 80’s se logró probar que, si esa conjetura era cierta, también lo era el teorema de Fermat. En 1986 Wiles se enteró de ese descubrimiento y entonces supo que aquella era la oportunidad de conseguir el sueño de su infancia, solo tenía que probar la conjetura de Shimura-Taniyama.
Wiles se dedicó a trabajar exclusivamente con esa prueba, mientras tanto publicaba pequeñas partes de otros resultados que ya había encontrado para no despertar curiosidad en otros colegas sobre lo que hacía. Sólo una persona sabía el secreto de Wiles: su esposa Nada.
Sin embargo, el 8 de marzo de 1988, Wiles recibió una conmoción al leer en los titulares de la primera página de los diarios que el último teorema de Fermat había sido demostrado. El Washington Post y el New York Times anunciaban que Yoichi Miyaoka, que trabajaba en la Universidad Metropolitana de Tokio, había descubierto una solución para el último teorema de Fermat, el problema más difícil del mundo. Dos semanas después de su anuncio, Miyaoka publicó su demostración, y los expertos empezaron a hacer la revisión línea por línea. Sin embargo, en los siguientes dos meses se encontraron errores en la prueba y los periódicos publicaron noticias cortas explicando que el problema de más de trescientos años de antigüedad continuaba sin solución.
En mayo de 1993 finalmente después de siete años de intenso trabajo, Wiles encontró por fin la prueba que consideraba definitiva. Compartió el resultado en el mes de junio en una terna de conferencias en Cambridge. En el New York Times apareció en primera plana: “Por fin, un grito de “¡Eureka!” en un antiguo misterio matemático.” Así fue como el profesor Shimura se enteró de la demostración de la conjetura que él y su amigo Taniyama habían creado juntos más de 30 años antes. Aunque Wiles se había convertido en el matemático más famoso del mundo repentinamente, todavía faltaba la revisión línea por línea de la prueba. La prueba tenía unas 200 páginas que fueron dividas en seis secciones, cada una de las cuales tenía a un experto como responsable de que no hubiera errores. Cuando había dudas sobre cierto paso y era necesario, se consultaba al propio Wiles por correo y él respondía con la aclaración o corrección correspondiente.
El problema fue que, en el mes de agosto, uno de los revisores, Nick Katz, encontró un error que parecía serio y que no se podía corregir fácilmente. El error era fundamental, pero no era fácil de entender, según Wiles, incluso a un experto le tomaría dos o tres meses siquiera entenderlo.
Wiles ahora tenía mucha presión encima para corregir el error, pero después de medio año no había logrado hacerlo. Una vez pasado un año, en el mes de agosto del año siguiente, Wiles y un amigo de él que lo apoyaba en la búsqueda de la corrección del error, Richard Taylor, estaban a punto de rendirse y renunciar, pero Taylor ya tenía planeado pasar todo el mes de septiembre con Wiles, así que sugirió que perseveraran durante un mes más. Si al final de septiembre no había avance, lo dejarían y reconocerían públicamente su fracaso.
Sin embargo, finalmente, el 19 de septiembre por la mañana a Wiles se le ocurrió una idea de cómo corregir el error. En retrospectiva, recuerda: “Fue tan indescriptiblemente bello; era tan simple y elegante. No podía entender cómo lo había pasado por alto y lo estuve contemplando incrédulo durante veinte minutos. Aquel día pasé por el departamento y volví a mi despacho para ver si la nueva idea aún estaba allí. Y aún estaba. No podía contenerme, ¡estaba tan emocionado! Fue el momento más importante de mi vida profesional. Nada de lo que haga significará nunca tanto.”
Wiles fue así el candidato ideal para recibir la medalla Fields, un premio equivalente al Nobel en matemáticas. El problema es que esta medalla se otorga a los menores de cuarenta años, y cuando Wiles anunció por primera vez su resultado tenía treinta y nueve años, pero como le tomó un año corregir el error, cuando la prueba ya quedó lista había rebasado la edad límite. Como sea, Wiles recibió el premio que dejó Paul Wolfskehl y otros más. Aunque algunos autores dudan de algunos de los detalles de esta historia, la historia sigue siendo fascinante aun cambiando esos detalles. Por cierto, en la convocatoria del premio de Paul Wolfskehl se puso como última condición para la entrega de la recompensa que se concediera antes del 13 de septiembre de 2007. Todos los autores que he leído dicen que es un misterio que se fijara esa fecha: pero Wolfskehl murió el 13 de septiembre de 1906.
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Héctor Hernández (México, D. F.). Licenciado en Actuaría y Matemáticas, doctor en Filosofía de la Ciencia y doctor en Educación. Actualmente es profesor del departamento de Desarrollo Humano en la Universidad del Caribe.
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Ensayo publicado en Tropo 16, Nueva Época, 2017.