Por Héctor Hernández
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Las fórmulas matemáticas tienen una inteligencia propia, son más sabias que sus descubridores, que obtenemos de ellas más de lo que originalmente se puso en ellas
Heinrich Hertz
Para la mayoría de la gente la respuesta a esta pregunta es obvia: han sido inventadas por el ser humano. Sin embargo, si se adopta esa respuesta surgen preguntas como las siguientes: si los humanos originaron las matemáticas ¿cómo es que ciertas habilidades matemáticas básicas como la comparación de cantidades, la sensibilidad numérica y el cálculo existen en otras especies de animales, como las aves, las abejas, los monos, los chimpancés, etc.? Y ¿cómo es que los planetas describen órbitas elípticas (regidas por leyes matemáticas) alrededor del sol mucho antes de que existieran seres humanos?
Hay tres opiniones principales acerca de si las matemáticas fueron descubiertas o inventadas: la postura que parece mayoritaria entre los autores de diversas áreas es que fueron inventadas, pero entre los matemáticos es muy común pensar que son descubiertas, y también existe la opinión menos común de que una parte es inventada y otra descubierta. Aquí defenderemos, de una forma simplificada, una versión de esta última.
Sobre la primera opinión, claramente los símbolos utilizados (la notación) son una parte inventada; por ejemplo, los números romanos parece que fueron inventados por los etruscos y luego desarrollados por los romanos. Alguien podría objetar que una cosa son los símbolos y otra muy distinta las operaciones que representan. Sin embargo, la forma de representar los objetos y conceptos con frecuencia facilita o complica el desarrollo de las operaciones, por ejemplo, los números romanos complican la realización de las multiplicaciones con números de varias cifras y decimales, así como las divisiones, sin mencionar las raíces cuadradas.
Además, hay conceptos o símbolos que llevan la firma del ser humano por ser nociones subjetivas o propias de la humanidad. Por mencionar unos ejemplos, existe un símbolo que significa “mucho mayor que” (⪢) y otro que significa “aproximadamente igual” (⩯). “Mucho mayor” ¿para quién o bajo qué criterio? y ¿qué tan cercano debe ser un valor para considerarlo “aproximado”? También se puede argumentar que nuestro sistema decimal tiene como origen, según la antropología, que el ser humano siempre ha utilizado sus manos (diez dedos) para contar.
Se puede decir que los seres humanos han ideado varias formas de representar objetos, conceptos y operaciones matemáticas, algunas más ventajosas que otras y esa ventaja a veces puede ser la diferencia entre resolver un problema o no, pero a veces también obstaculizan el avance o introducen nociones poco claras en un razonamiento que llevan al error.
Sin embargo, la mayor prueba de que hay ciertas áreas de las matemáticas inventadas por el ser humano, desde mi perspectiva, es que algunas están “mal hechas”, pues contienen contradicciones o errores evitables, ya sea en la forma de definir conceptos o en el razonamiento a partir de ellos. Una contradicción siempre es falsa por lo que, si un campo de las matemáticas contiene una contradicción, es que alguien introdujo como verdadero algo falso y eso prueba que hubo intervención del error humano.
En lo que se refiere a la postura de que las matemáticas son descubiertas, el filósofo inglés Bertrand Russell escribió en un artículo de 1901: “La Aritmética debe ser descubierta en el mismo sentido precisamente en que Colón descubrió las Indias Occidentales, y nosotros no creamos los números más de lo que él creó a los indios”.
Pero ¿qué lleva a pensar a algunos filósofos o matemáticos que las matemáticas se descubren? El matemático John Barrow argumenta que no puede ser que todas las matemáticas sean un mero invento de los seres humanos, debe haber algún elemento objetivo, ya que existen varios ejemplos de descubrimientos en matemáticas realizados en forma independiente (por ejemplo, el triángulo de Pascal).
También está el hecho de que ningún ser humano fue capaz de inventar ciertos objetos. El científico Roger Penrose considera como ejemplo la estructura de un fractal conocido como el conjunto de Mandelbrot y, refiriéndose a los detalles que se van descubriendo con la exploración, comenta: “El conjunto de Mandelbrot no es un invento de la mente humana, fue un descubrimiento. ¡Como el monte Everest simplemente ‘está ahí’!”
Otro ejemplo es el número Pi. La gente fue descubriendo a través de los siglos cada vez más propiedades y decimales del número Pi hasta llegar a la conclusión de que era un número trascendente e irracional debido a sus rasgos. No fue inventado por alguien, ya que nadie conocía sus características por completo. El símbolo griego para Pi (π) se eligió por ser la inicial de la palabra Perímetro (Pi representa la cantidad de veces que cabe la longitud del diámetro en el perímetro de la circunferencia, un poco más de tres: 3.141592…), pero el número en sí mismo interviene en ecuaciones y fórmulas de tipos tan diversos que probablemente nadie llegue a conocer todas alguna vez. El matemático Harold Hardy comentó que las matemáticas puras son como una roca en la que cualquier tipo de idealismo fracasa: “317 es un número primo no porque lo pensemos nosotros, sino porque la realidad matemática está construida de esta forma”.
Pero quizás el mejor argumento de que hay matemáticas descubiertas es el siguiente. Cuando alguien realiza un invento, por lo general lo hace para resolver un problema técnico o funcional de una forma novedosa, así que el inventor sabe para qué sirve, cuáles son sus elementos, cómo y por qué funciona y cómo se aplica. Sin embargo, diversos campos de las matemáticas no satisfacen esos rasgos. Para empezar, no se sabe para qué pueden servir algunas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, la teoría de los números transfinitos (hay una infinidad de infinitos, unos más grandes que otros). En caso de que el universo sea infinito, sería uno de los infinitos más pequeños de la teoría, pero no hay algo en el universo (o fuera de él) que tenga el tamaño de la mayoría de los infinitos que se estudian ahí, de modo que no solo es probable que la teoría no tenga aplicaciones ahora, sino quizás nunca.
Más aún, algunos matemáticos deliberadamente han tratado de evitar que su trabajo tenga aplicaciones. Por ejemplo, Harold Hardy consideraba algo positivo que su trabajo no tuviera aplicaciones, en parte por el mal uso de la ciencia en las guerras. En su obra Apología de un matemático dice: “Nunca he hecho algo que sea útil. Ningún descubrimiento mío ha hecho, o probablemente haga, directa o indirectamente, para bien o para mal, la menor diferencia en el bienestar del mundo”. Sin embargo, se equivocaba, la teoría de números, que él trabajó, tiene actualmente amplia aplicación en la seguridad informática. ¿Diríamos que inventó algo que no sabía para qué servía? ¿O más bien descubrió ciertas relaciones entre números enteros que más tarde sirvieron para algo? Esta situación es común en la historia de las matemáticas, Hardy mismo escribió lo siguiente: “Nadie previó en su momento las aplicaciones de las matrices, de la teoría de grupos y de otras teorías puramente matemáticas, a la física moderna, y puede ser que a algunas de las matemáticas aplicadas más “selectas” se les encuentre de forma inesperada “utilidad”.”
No es razonable pensar que un inventor no sepa para qué sirve su invento y que no tenga dominio de aquello que está inventando. Pero resulta que, en matemáticas, es más lo que no se sabe que lo que se sabe. Incluso preguntas básicas sobre los números naturales, como si existen primos gemelos infinitos o si el número 10 es solitario, no se han podido responder aún. No se puede llamar invento a un objeto que no se conoce bien, que tiene muchos rasgos impredecibles, del que se tienen más preguntas que respuestas.
El matemático Richard Dedekin decía que un número es algo nuevo que la mente crea y que somos una raza divina porque poseemos el poder de crear. Pero parece un tanto egocéntrico pensar que el ser humano es el creador de las matemáticas, en particular aquellas que funcionan en las leyes del universo, pues la mente humana no decide cómo se comportan las galaxias o los cuerpos celestes en general ni la naturaleza que existe mucho antes que la humanidad. Parece que las matemáticas son el único lenguaje universal, por eso el astrónomo Carl Sagan sugirió en su obra Contacto que el mensaje que se debe enviar a una civilización extraterrestre son los números primos. Esto no sería posible si las matemáticas fueran un producto exclusivo de los seres humanos. Como dijo el matemático francés Charles Hermite: “En matemáticas somos más sirvientes que señores”.
En resumen, hay partes de las matemáticas que se inventan (por ejemplo, las poco rigurosas que contienen ambigüedades y errores) y campos que se descubren. Sin embargo, en la práctica no siempre es fácil distinguir cuál es cuál. Tal vez Leopold Kronecker tenía razón cuando dijo: “Dios hizo los números enteros; el resto es obra del hombre”. Tropo
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Héctor Hernández (México, D. F.). Licenciado en Actuaría y Matemáticas, doctor en Filosofía de la Ciencia y doctor en Educación. Maestro en filosofía del lenguaje y de la mente. h2o_mat@hotmail.com
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Imagen: Conjunto de Mandelbrot. Créditos: Danielkwalsh. Tomada de la página web: https://principia.io/2022/09/12/fractales-patrones-ocultos-de-una-naturaleza-fragmentaria.IjE2MDUi/ .